3-5. 放物線の面積と等比数列 | アルキメデスの求積法を図解で解説
本節では、アルキメデスが考えた方法で放物線の切片の面積を求めます。アルキメデスは数学の分野で様々な業績を残しましたが、この「三角形分割による求積」の方法も有名で、後世に大きな影響を与えました。この方法は前節で考えた定理を…
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3-4. 斜交座標とは？ | アルキメデスの求積の要となる定理を解説
放物線と座標 古代の放物線 現在の私たちは放物線といえば常にXY座標を頭に浮かべ、放物線上の点 P は座標として、実数の組 (x, y) で与えられます。放物線の描き方も決まっていて、放物線の頂点が原点になかったり、放物…
3-3. アルキメデスの放物線の面積｜相似と天秤による古代の求積法
前節では放物線の描き方について解説しました。この節ではアルキメデスが考えた「放物線の切片の面積」について詳しく見てみましょう。アルキメデスの証明には独創的なアイディアによるものが多く、これもその一つなのですが、現在の皆さ…
3-2. 放物線の描き方 | アルキメデスが考えた方法を詳しく解説
アルキメデスは放物線に対するいろいろな性質を知っていて、その性質を使ってさまざまな結果を得ています。放物線の描き方についても示しています。古代ギリシアの時代のアルキメデスが放物線をどのように考えたのか、詳しく見てみましょ…
3-1. 放物線とは？放物線の方程式と接線 | 古代の放物線の表し方
「高校で習う数学など私たちの毎日の生活には何のかかわりもない」というような話をよく聞きます。特に二次方程式とか 放物線 などは、日常生活にはあまり現れません。2千年も前にアルキメデスは放物線、楕円、双曲線などといったとて…
2-8. 円錐の体積の求め方 | アルキメデスが考えた体積の計算方法
現在の私たちはすべての物を数値化して考えます。したがって古代ギリシアでも当然同じだったに違いないと思いがちです。しかし、これまで見てきたように、古代ギリシアでは、長さ、面積、体積、…といったものは“数”とみなしていなかっ…
2-7. 比例中項 | 長方形の正方化・多角形の面積比を詳しく解説
長方形の正方化 長方形の等積変換 線分で囲まれた図形を多角形といいます。多角形は図2.7.1で示されるように三角形に分解できます。 各三角形は前節〔2-6 グノモンの定理〕で述べたように長方形に等積変換でき…
2-6. 等積変換とは？内項外項の定理・グノモンの定理を詳しく解説
第1章では、ピラミッドの体積を求めるのに「小石の数理」を用いました。（詳しく知りたい方は〔1-3 小石の数理〕をご一読ください。）しかし、アルキメデスは小石の数理（整数論）は使わずに、すべて「比の理論」を使…
2-5. 円周と円の和 | ギリシアの三大難問「円の正方化」とは？
地球を一周するロープを1m持ち上げると？ 前節〔2-4 比の理論〕で比の公式がいくつか出てきました。今回はこれらの公式がどのように使われるのかを見てみましょう。その前に皆さんに問題を出します。頭の体操だと思って考えてみて…
2-4. 比の等価性とは？長方形の面積比でわかる比のしくみ
アルキメデスが創り上げた理論は、現在では解析学と呼ばれ、代数学に属します。代数学は“数”を扱うのに対し、アルキメデスが扱った対象は図形や立体などの幾何学的対象で“数”は現れません。代数学の土台となる“掛け算…
2-3. 円周率の定理とは？アルキメデスの考えと現代の円周率を比較解説
現在の私たちは分数も小数も自由に使いこなしています。そして“数”はあまりにも基本的なので、世界史にその名を残した大数学者のアルキメデスが、今では小学生でも知っている分数を使いこなせていなかったなどとは信じが…
2-2. 平方数の和の公式｜「連続する正方形の和」の証明を詳しく解説
平方数の和の公式 現代の公式：2乗の和の公式とは 〔1-4 ピラミッドの体積〕では平方数の和（四角錐数）を考えましたが、これは数の和でした。アルキメデスは、これを面積の和に置き換えた、正方形の和を考えています。 平方数の…
2-1. 数と量とは？｜古代ギリシアの量の足し算と基本等差列を解説
〔1-1アルキメデスと無限〕で述べたように古代ギリシアの数学では数と量を明確に区別していました。古代の人にとって、“数”とは個数を数えるときにだけ用いる自然数であって、長さや、面積や、体積などは“量”として扱い、“数”と…
1-4. 四角錐の体積｜ピラミッド建設でも使われた四角錐の体積の公式
前節〔1-3 小石の数理〕では砲弾を並べて三角数や三角錐数の性質を考えました。今回は四角錐の体積について考えてみましょう。 四角錐数と準立方体 四角錐数：平方数の数列の級数 平方数の数列の級数を考えます。平方数の数列は、…
1-1. 無限とは何か？古代ギリシアのアルキメデスが挑んだ無限の謎
古代の数学を学ぶということ 数学は言語である アルキメデスは、世界中の誰でも知っているほどの有名人で、彼の行った研究は現代数学発展の大きな礎(いしずえ)となりました。特に、基本的な図形や立体の、面積とか体積を求める方法（…
プラトン立体とは？五つの正多面体をわかりやすく解説
正多面体にはどんな種類があるかご存知ですか？この記事では、数学や自然界で重要な役割を持つ『プラトン立体』について、初心者にもわかりやすく解説します。 プラトンと幾何学の関係：哲学と数学をつなぐ言葉「神は常に幾何学する」 …
1-5.対頂角の定理とは？ユークリッド原論の証明を動画で詳しく解説
ユークリッドの原論：線分の扱い 線分 AB 上に点 C を取ります。図K1-5-1。すると線分 AC は線分 AB の部分なので、公理 8 より 線分AB は線分 ACより大きい、AC ＜ AB、となります。また、線分 …
1-4.ユークリッド幾何学の『9つの公理』とは？動画で詳しく解説
原論の幾何学第1巻〜第4巻の大きな特徴は、角度、長さ、面積、体積などを数値として扱っていないことです。これらは量として扱います。原論の第７巻になってやっと自然数がでてきます。比が最初に現われるのは第5巻、相似が現われるの…
1-3.ユークリッド幾何学の『5つの公準』とは？動画で詳しく解説
5つの公準 『原論』の第I巻では、前回述べた定義のあと、次の 5つの公準と9つの公理が続きます。まずは5つの公準をみてみましょう。 ユークリッド『原論』：5つの公準 公準 1任意の2点が与えられたとき、それらを端点とする…
1-2.ユークリッド原論とは？幾何学の教科書を動画でわかりやすく解説
ユークリッドの原論とは？ 数学史上最も多くの人に読まれた本『原論』 ユークリッドの原論以上に世界中の人に読まれた本は「聖書」くらいのものだ、と言われるぐらい近世になるまで原論は広く読まれていました。実際、ヨーロッパの中世…
1-1.古代ギリシア数学とは？ユークリッド幾何学を動画で詳しく解説
古代ギリシア数学の幾何と現代の数学 古代ギリシアの数学 数学の生まれ故郷は古代ギリシアだとされ、ギリシア数学についてこれまで多くの本が書かれてきました。ただし、ギリシアの数学とは幾何学のことで、現在私たちが学校で習う数学…
5-4.ウィトルウィウス的人体図と黄金比 | ダヴィンチと聖なる比の意味
レオナルド・ダ・ヴィンチとプラトンの立体 ルネサンス期的教養人と数学 ルネサンス期はギリシアの幾何学が絶賛されおおいに持ち上げられた時代です。すべての分野に通じた博学の人を「ルネサンス期的教養人」と呼ぶように、当時の知識…
4-6.古代ローマの数学と建築｜ウィトルウィウスの図形と黄金比
ギリシアの古典期、ヘレニズム期、ローマ期の移り変わりを改めて丁寧にみてみましょう。ローマの有名な建築家で数学者のウィトルウィウスは、ギリシア数学ではなくオリエントの実用数学を好んで用いています。これを一つの例にあげ、この頃の数学、数の扱いについてより深く考えてみましょう。
4-5.アルキメデスの円周率｜正多角形から導く円周率の求め方
アルキメデスの考えた円周率とは 数学史を通して最も有名な数学者と言えばアルキメデスです。アルキメデスは、放物線の切片の面積、球の表面積や球の体積など多くの成果を残していますが、そのなかでも円周率 π はだれでもが理解でき…
4-4. アリストテレスと古典数学｜理論と実用が交差するヘレニズム期
古典期のギリシア人と数学 本連載で「ギリシアの数学」と呼んでいるのは、ギリシアにおいて古典期に発達した数学のことです。『4-1. ギリシアの数学とエジプトの数学』で述べたように、ペルシア戦争ののちギリシアのポリスの一つで…
4-3. 黄金比とは何か｜古代ギリシア幾何学と黄金率・フィボナッチ数列
黄金比とは 黄金比(外中比)とギリシアの幾何学 黄金比は、ギリシアの幾何学では外中比と呼ばれ、ギリシア「幾何学」のハイライトの一つです。黄金比のことをエジプト人が知っていたかどうかは疑問ですが、数学史では黄金比がよく出て…
4-2.ピタゴラスの定理とは何か｜古代ギリシア数学と無理数の誕生
古代ギリシア数学の概念とピタゴラスの定理 「古代ギリシア人がピタゴラスの定理を証明した」という表現の誤りについて この節ではギリシア人が数をどのように捉えていたかを考えます。もう少し正確に言うと、ユークリッドの『原論』に…
4-1.ギリシア数学とエジプト数学 | 理論数学と実用数学の違いとは？
産業革命とヨーロッパの科学技術の進歩 中世のヨーロッパは、オリエントに比べ文化がだいぶ遅れていました。とくに数学は、数秘術的なものとユークリッドの『原論』全13のうち第1巻のほんのさわりだけを教会の付属学校で習うだけでし…
2.ピタゴラス教団が信じた宇宙観 | 整数比と調和の世界とは？
【古代ギリシアの数学者ピタゴラスのお話】は全2記事からなるWeb連載です 前回の記事はこちら 古代ギリシアの数学者『ピタゴラス』のお話[Vol.1] 前回のお話 前回はピタゴラスの生まれた時代背景、そしてピタゴラスが誰と…
1.ピタゴラスとは何者か？謎に包まれた数学者の伝記
ピタゴラスとは何者だったのか？ 「すべてのものは数である」 本記事では、ピタゴラスの生涯をたどりながら、彼の思想がどのように数学の歴史に影響を与えていったのかを探ります。 彼が旅した地エジプト、そして出会った人物タレス。…
3-4.古代エジプトの体積計算｜円柱・三角錐・四角錐の体積の求め方
古代エジプト人はどのように体積を計算していたか エジプト人は直方体の体積を「底面積×高さ」で計算していました。これは、体積を「1 × 1 × 1 の単位立方体がいくつ取れるか」と考えていたとすれば納得できます。しかしさら…
3-3.古代エジプトの面積計算｜土地測量の理論と円の面積に関する問題
エジプト人の面積計算法―古代数学の精巧さと創造性 歴史の父 ヘロドトスは、 ギリシア人は数学をエジプト人から学んだ と述べています。しかしヨーロッパの人たちは長い間この言葉を無視してきました。「ピラミッドの建設にはごく初…
1-1.ピラミッドの謎とは？円周率・黄金比・地球緯度の秘密に迫る
ピラミッドに関する３つの謎 みなさん、「ピラミッドの謎」のことはご存知ですか。 昔から、エジプトには多くの人が訪れています。歴史や考古学は人気があり、ピラミッドはテレビなどでよく取り上げられています。特に有名なのはギザに…