5-3.ピラミッドの謎『黄金比の謎』｜黄金ピラミッドに隠された真実

証明

高さ h、底面の1辺が a のピラミッドを考えます。図5.2.1参照。

セケドを 5;\(\frac{1}{2}\) とします。すると、傾きは \(\frac{14}{11}\) ですから

\(\frac{h}{a/2} = \frac{14}{11} よって h = \frac{7}{11} a\)

となります。底面積を S₁、側面の4つの三角形の一つの面積を S₂ とします。 S₁ ＝ a² です。S₂ を求めるために、S₂ の高さ d を求めます。ここでピタゴラスの定理を使うと

\(d^2 = (\frac{a}{2})^2+ h^2 = \frac{a^2}{4}\left\{ 1 + (\frac{2}{a})^2\times (\frac{7}{11}a)^2 \right\}\)

となります。
S₂ ＝ \(\frac{ad}{2}\) ですから

となり、この値は (2) の黄金率の理論値φと驚くべき一致をします。

続いて逆を示しましょう。底面を S₁、側面の \(\frac{1}{4}\) を S₂ とし、\(\frac{4S2}{S1}\) ＝ φ とします 。高さを h、底面の1辺を a、S₂ の高さをd とします。S₁ ＝ a² ですから、

\(\frac{4S_2}{S_1}=\frac{2ad}{a^2}=\frac{2}{a}\sqrt{(\frac{a}{2})^2+h^2}=\sqrt{1+(\frac{2h}{a})^2}=\varphi\)

『4-3.黄金比とはなにか』で述べたように 1 + φ = φ² が成り立ちます。よって、

\(1+(\frac{2h}{a})^2=\varphi^2\)

傾き \(\frac{14}{11}\) はセケド \(\frac{1}{2}\) ＝ 5;\(\frac{1}{2}\) です。 以上より 事実 2 が成立することが示されました。