4-2.ピタゴラスの定理とは何か｜古代ギリシア数学と無理数の誕生

古代ギリシア数学の概念とピタゴラスの定理

「古代ギリシア人がピタゴラスの定理を証明した」という表現の誤りについて

この節ではギリシア人が数をどのように捉えていたかを考えます。もう少し正確に言うと、ユークリッドの『原論』において、長さとか面積とか体積がどのように扱われていたか、についてです。私たちはどうしても過去の数学を現代人の眼で見てしまいます。たとえばピタゴラスの定理は、通常次のようにいわれています。

また、ギリシア人が発見した定理として次も有名です。

しかしながら数学史の表現としては、「ギリシア人は定理 A を証明した」とか、「ギリシア人は定理 B を証明した」という言明は、実は間違いなのです。この節では、この表現のどこが間違っているのかを説明します。

古代ギリシア人の数の概念：数と量

現代の私たちは、長さ、面積、体積、角度などを数で表していますから、古代ギリシア人も私たちと同様だと思いがちですが、実はそうではありません。ギリシア人にとって数とは個数を表わす自然数だけだったのです。ここでいう古代ギリシア人とは、文芸や哲学で名高いギリシア文明が花開いた古典期の都市アテナイの人々、特に幾何学という数学の原点を創設した人々のことです。科学の中心が都市アテナイから、エジプトのアレクサンドリアに移ると、エジプトやバビロニアの実用数学の影響を受け、数学も大きく変貌します。ギリシア人も1よりも小さいエジプト分数やバビロニアの 60進小数を使うようになり、数の概念も変わってきます。エジプト人やバビロニア人は面積や体積を

\(面積=長さ\times 長さ\)
\(体積=長さ\times 長さ\times 長さ\)

として扱っていました。しかし、アルキメデスなどギリシアの理論数学を順守する人たちはこの立場を取っていません。ギリシアの「幾何学」の流れの中で理論を展開しています。

長さ、面積、体積、角度など自然数以外の数を量と呼びます。あるいは現代の物理でよく使われる、

\(3メートル、3平方メートル、3立方メートル、3度\)

のような「単位名つきの数」だと考えた方が理解しやすいかもしれません。また、以下では混乱を避けるために、数の代わりに自然数という用語を用いることにします。