3-1.古代エジプトの数と単位｜ホルスの目とエジプト分数の仕組み

エジプトの分数表記とホルスの目

古代の科学について述べるときに注意しなければならないことは、古代で得られている技術や概念だけを用い、現代の概念を古代に持ち込まないことです。数学で最も基本的な概念は数です。しかし数という概念は古代と現代ではずいぶん違うのです。ヨーロッパでは、古代どころか近世になるまで数といえば自然数だけだったのです。分数とか小数はいうまでもなく、ゼロ 0 とか小数や分数は知らなかったのです。現代の皆さんは子供のころから数に慣れ親しんでいて負の数や小数などはもともと自然界に存在しているかのように思っていることでしょう。数という概念はあまりにも基本的なので、「知らなかった状態に戻れ」といわれてもなかなかできるものではありませんが、できるだけ古代人に戻って、当時の人は分数をどのように捉えていたか考えてみましょう。

分数とは、最小の単位より小さい量をはかるためのものです。最小の単位で測れないものは、「半分（二分）」、それより小さいものは「半分の半分（四分）」と測ります。世界中どんな言語でも \(\frac{1}{2}\) を表す半分という語を持っているようです。日本では1両の半分を二分金、\(\frac{1}{4}\) を四分金と呼んでいました。2-4.オリシス神話で述べたようにエジプトでは、

\(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32} , \frac{1}{64}\)(1)

のそれぞれを表す6個の記号を持っていました。図2.4.2 の「ホルスの目」参照。

この6つの部分が図で示されるような6つの分数を表します。ホルスの目は扱いにくいし、皆さんも覚えにくいと思うので、以下では「ホルスの目」の代わりに (1) を使うことにします。ただし、たとえば \(\frac{1}{32}\) はこれで一つの記号とみてください。数と数の区切り記号としてセミコロン( ; ) を使います。したがって、

\(3;\frac{1}{4};\frac{1}{16}寸 = 3寸 + \frac{1}{4}寸 + \frac{1}{16}寸 = 3.3125寸\)(2)

となります。エジプトの長さの最小単位は寸デジットで、1寸デジットは約 1.8cm です。この \(\frac{1}{64}\)は 0.028cm ＝ 0.28mm です。つまり、この「ホルスの目」を使えばわずか 0.3mm の長さまで表すことができるのです。古代ではこんなに小さい長さまで測る必要はなかったと思います。

2進分数と2進小数

現在のコンピュータは2進数を使っています。ここで少し2進小数について説明しましょう。これからあとは古代ではなく現代の数学の話です。上で述べたホルスの目の (1) を次のように無限に拡張しましょう。

\(\frac{1}{2^1} , \frac{1}{2^2} , \frac{1}{2^3} , \frac{1}{2^4} , \frac{1}{2^5} , …\)(3)

ここで (3) の中から適当に有限個選んで並べたものを2進分数と呼ぶことにします。ただし、同じものを2個以上選んではいけません。たとえば

\(\frac{1}{2^1} ; \frac{1}{2^3} ;\frac{1}{2^5} ;\frac{1}{2^8}\)(4)

は2進分数です。2進分数は、次のようにすれば2進小数に変換できます。

図3.1.1 で赤は現れていない分数です。\(\frac{1}{2n}\) が現れていれば n桁目を 1とし、現れていなければ 0 とします。このようにすれば (4) の2進分数は、2進小数

\(0.10101001\)

に変換することができます。逆の変換も同様です。2進小数のn桁目が 1 なら \(\frac{1}{2n}\) を加え、0 なら加えません。