3-5. 放物線の面積と等比数列 | アルキメデスの求積法を図解で解説

本節では、アルキメデスが考えた方法で放物線の切片の面積を求めます。アルキメデスは数学の分野で様々な業績を残しましたが、この「三角形分割による求積」の方法も有名で、後世に大きな影響を与えました。この方法は前節で考えた定理を利用しますので、証明に使用する定理について詳しく知りたい方は〔3-4. 斜交座標〕をご一読ください。

等比数列

無限級数

次の数列は本シリーズでもよく登場する歴史的に有名な数列です。

\( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \cdots \)(1)

この数列は、次々に前の項の半分になっています。これらの項をすべて足した和

\( S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots \)(2)

を、数列 (1) の無限級数といいます。近世になって、数学が進歩してくると無限級数が頻繁に用いられるようになります。アルキメデスははたして“無限級数”というようなものを考えていたのでしょうか。これを頭の隅において、この節をお読みください。