2-6. 等積変換とは？内項外項の定理・グノモンの定理を詳しく解説

第1章では、ピラミッドの体積を求めるのに「小石の数理」を用いました。（詳しく知りたい方は〔1-3 小石の数理〕をご一読ください。）しかし、アルキメデスは小石の数理（整数論）は使わずに、すべて「比の理論」を使って議論しています。現在では、面積は「小さな正方形がいくつでおおえるか」で議論できます。しかしこれは“後智慧(あとぢえ)”で、当時は数の “1” はこれ以上小さく分けることはできなかったのです。〔2-3 πの源流〕で見たように、円周とか円の面積は、円を 1/6, 1/12, … と小さく割っていくことで計算しています。量は数と違って、割ることができるのです。ここでは面積に関してもう少し詳しく見てみましょう。

等積変換

三角形は、同じ面積の長方形に変換できます。面積を変えずに変換することを等積変換といいます。たとえば次は等積変換です。

\(底辺が a 高さがh の三角形\)
\(= \frac{1}{2}□(a. h) = □(a. \frac{h}{2} )\)

この式の意味は「底辺が a で高さが h の三角形の面積は、底辺が a で高さが h/2 の長方形の面積に等しい」という意味であって、「三角形の面積＝底辺×高さ/2」という現代の公式とは意味が異なります( 図2.6.1)。 古代の比とは、2倍、3倍、1/2、1/3 の拡張概念であって、現在の分数のような「演算システム」ではありませんでした。

三角形の相似

「三角形の相似」の条件

おそらく読者の皆さんは、三角形の相似のことはよく知っていると思います。次の定理の3つの条件の1つが成り立てば、2つの三角形は相似です。証明は省略します。

三角形の底辺平行

比の理論で最も重要な働きをするのは次の定理です。これも証明は省略します。