1-4. 四角錐の体積｜ピラミッド建設でも使われた四角錐の体積の公式

前節〔1-3 小石の数理〕では砲弾を並べて三角数や三角錐数の性質を考えました。今回は四角錐の体積について考えてみましょう。

四角錐数と準立方体

四角錐数：平方数の数列の級数

平方数の数列の級数を考えます。平方数の数列は、以下です。

\(1^2, 2^2, 3^2, 4^2, …\)

この級数の各要素を四角錐数と呼びます。現在の私たちは、次の公式をよく知っていると思います。

四角錐数と準立方体の関係 〜 準一般的な証明 〜

図1.4.1は4番目の四角錐数です。四角錐数と呼ぶよりは、“ピラミッド数”と呼んだ方がよいかもしれません。

古代の人は (1) のような式は使えませんから次のように表現しました。

\(n番目の四角錐数×6 = (n – 1)番目の準立方体 + n番目の準立方体 \)(2)

古代では変数 n は使えませんから n＝5 の場合を示します。しかしこの5は特定の自然数を表すのではなく一般の自然数を代表しているのです。このような証明を準一般的な証明といいます。

この証明に、前節で議論した次を使います。

\(隣り合う2つの三角数の和は平方数になる(図1.3.10 – 再掲)。\)

これを現代の式を使って表すと次のようになります。

n=5の時、すなわち5番目の四角錐数を計算すると次のようになります。

前節で示したように、「n番目の三角錐数×6 ＝ n番目の準立方体」が成立します。したがって (2) が成立します。