平方数の和の公式
現代の公式：2乗の和の公式とは
〔1-4 ピラミッドの体積〕では平方数の和（四角錐数）を考えましたが、これは数の和でした。アルキメデスは、これを面積の和に置き換えた、正方形の和を考えています。
平方数の和の現代の公式は
\(1^2 + 2^2 + \cdots + n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
となります。
アルキメデスが示したのは次の定理です。興味のある人は、これを現代の数式に変換して、上の式と同じになることを確認してみてください。
定理：正方形の和
線分 a と自然数 n に対して次が成立する。
線分 a と自然数 n に対して次が成立する。
\[ 3×\{□^2(a)+□^2(2a)+ \cdots + □^2(na)\} = □(a, \{1+2+\cdots+n\}a) + (n+1)□^2(na) \](1)
この先で扱う内容
- 系 ：正方形の和
- 系(ii)の証明
- 「正方形の和」の式の証明
- 放物線下の面積
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