2-7. 比例中項 | 長方形の正方化・多角形の面積比を詳しく解説

長方形の正方化

長方形の等積変換

線分で囲まれた図形を多角形といいます。多角形は図2.7.1で示されるように三角形に分解できます。

各三角形は前節〔2-6 グノモンの定理〕で述べたように長方形に等積変換できます。また、複数個の長方形の和は1つの長方形に等積変換できます。さらに次の定理が示すように、任意の長方形は正方形に等積変換できます。

比例中項

図2.7.2 のように長さ a＋b の線分 AB を H で分割し、AH＝a, HB＝b とします。AB を直径とする円を描き、H における AB の垂線と円との交点を C とします。

すると ∠C ＝ ∠R となります。（∠R は“直角”と読みます）　すると、

\(∠R = ∠A + ∠B = ∠A + ∠ACH = ∠B + ∠BCH\)

となります。よって
∠B ＝ ∠ACH
∠A ＝ ∠CHB
となりますから△AHC と △CHB は相似となり、

\(AH : CH = CH : HB\)

が成立します。HC ＝ x と置くと

\(a : x = x : b\)

となります。〔内項外項〕の定理より、

\(□(a, b) = □^2(x)\)

が得られます。

比例中項の公式

与えられた線分 a と b に対し、

\(a : x = x : b \)(1)

を満たす x を a と b の比例中項といい、記法

\(\sqrt{a,b}\)

で表します。これは、式 (1) を満たす線分 x という意味であって、現代の \( \sqrt{ab} \) ではないことに注意してください。□²(x) が正方形を意味するものであって、現在の x² ではないのと同様です。

次の公式は、以下の議論でたびたび用います。

公式：比例中項
\( □(a,b) = □^2(\sqrt{a,b}) \)