3-3.面積の計算

エジプト人の面積計算法―古代数学の精巧さと創造性

歴史の父ヘロドトス※は、

と述べています。しかしヨーロッパの人たちは長い間この言葉を無視してきました。「ピラミッドの建設にはごく初歩的な数学しか使われていない」とか、「エジプト分数は奇妙で原始的な分数だ」などと、エジプト分数※をことさら軽視する発言が多かったように思います。古代エジプトに高度な数学が発達していたことが分かってきたのは最近のことです。前節ではエジプト人が相当面倒な比の問題を解いていることを見ました。今回はエジプト人が面積をどのように計算したかを見てみましょう。

古代エジプトの実用数学と土地測量

エジプトの幾何学は、ナイル川の氾濫後の土地を測量して耕作地を農民に分配するために生まれ、一般に数学は、生産物の集積およびその再分配や、ピラミッドの建設に必要な石材量の計算などの実用数学から発達したと考えられています。前節と同様に、この節でもパピルスにあった問題を解いてみます。これらの問題を現在のメートル法の単位で置き換えると、皆さんにとっては初等的で簡単な問題だと思えるかもしれません。しかし、ここでは当時の単位を使って考えてみます。これは古代人が数をどのように考えていたか、数という概念や面積という概念をどのようにして獲得してきたかを見るためです。

古代エジプトの測量単位と農地面積の計算方法

『3-1.古代エジプトの数の扱いと単位』で述べたように、長さの単位は、腕尺キュビット、掌尺パーム、寸デジットでしたが、以下ではさらに次の棒尺ケトという単位を付け加えます。

1棒尺ケト ＝ 100 腕尺キュビット＝ 約50メートル、 （1 腕尺キュビット ＝ 約 0.5 メートル）

日本でも昔、検地で田畑を測るときは長い竹竿を使ったようです。ロープだと曲がったりたるんだりするようです。1棒尺ケト ＝ 約50メートルですから、一度には測れず、何回かで測ったのでしょう。面積の単位は次のようになっています。

1 帯地ペイケス ＝ 1 腕尺キュビット × 1 棒尺ケト ＝ 100平方 腕尺キュビット

1農地セタト ＝ 100帯地ペイケス ＝ 10,000平方腕尺キュビット ＝ 1平方棒尺ケト

面積は縦 1 腕尺キュビット 横100腕尺キュビットの細長い帯状の面積を単位としていました。これを1帯地ペイケス といいます。畑は縄師によって横の長さが100腕尺キュビット ＝ 1 棒尺ケト の長方形に区切られていました。したがって縦の長さを測るだけで畑の面積が分かるようになっていました。図3.3.1参照。

縦の長さが n腕尺キュビット なら、帯地ペイケスが n個の n帯地ペイケスとなります。帯地ペイケスが100個で1農地セタト です。つまり面積も一種の個数でした。直感的にも理解しやすく、実際に農地セタトを計測したり、分配したりするにはとても便利だと思いますが、このような体系で

長方形の面積＝縦の長さ×横の長さ (1)

という公式にたどりつくまでには長い道のりがあっただろうと思います。特に棒尺ケト 、腕尺キュビット 、掌尺パーム 寸デジットなどの単位が混じった長さどうしの掛け算は、計算するだけでも大変だと思います。

現在の皆さんは何の疑問もなく (1) を公式として受け入れていると思います。それはそれでまったく構わないのですが、ここで少し掛け算の生い立ちについて考えてみましょう。

面積計算の基礎としての小長方形の利用

掛け算は足し算の拡張として生まれたのだと思います。数 a の n倍、すなわち n×a は「a をn個足したもの」でした。上で述べたように、畑の面積は帯地ペイケスがいくつかで測っています。エジプト人は数を自然数から分数に拡張しました。長さが分数で表わされたとき、(1) はどのように理解したのでしょうか。エジプトの単位系は複雑だから、現在のメートルで考えることにします。たとえば縦 2 3メートル、横 3 5メートルの土地の面積を考えましょう。

図3.3.2 のように縦横1メートルの正方形の土地を、縦を3等分、横を5等分すると、縦1 3 メートル、横 1 5 メートルの小さい長方形が 3 × 5 = 15 個できます。この小さい長方形は単位正方形(1平方メートル)の 15分の1です。縦 2 3メートル、横 3 5メートルの長方形には、この小長方形が2 × 3 = 6 個あります。したがって、影の部分の面積は 6 15 = 2×3 3×5m² となります。縦と横の長さが一般の分数の場合も、同様の方法で一般化できます。エジプト人も、具体的な数値でいろいろな問題を解くうちに (1) が成立すると考えるようになったのだと思われます。

以下では、長さの単位は棒尺ケト、面積の単位は農地セタトだけとします。

1農地セタト ＝１平方 棒尺ケト ＝ 1 棒尺ケト²

であることに注意してください。棒尺ケト² は「平方棒尺ケト」の略記法で現代式の記法です。パピルスにあらわれる問題を見ていきましょう。

古代エジプトの面積の問題を解いてみよう

現在の私たちは、分数の逆数は、分子と分母をひっくり返すことで計算できますが、エジプト分数の場合は少し面倒です。しかしエジプト人は、具体的な問題を繰り返すうちに「逆数」という概念を思いつき、計算方法を習得していきました。このように、具体的ないくつかの例から一般的な法則を得る方法を帰納的方法といいます。
図3.3.4において、c ＝ 1 棒尺ケトとすると、

a 帯地ペイケス ＋ b 帯地ペイケス ＝ (a＋b)帯地ペイケス

となります。エジプト人は、c を1棒尺ケトに制限する必要がないことに気がつきます。また、棒尺ケトとか帯地ペイケスといった単位にとらわれることなく、数 a, b, c に対して次が成り立つことに気がついたと思います。

( a + b ) × c = a × c + b × c (5)

この法則をさらに一般化して次が得られたのだと思います。

「横の長さが等しい2つの長方形の面積は縦の長さに比例する」

もちろん、エジプト人はこのような式は使えませんし、このような法則が成り立つといったようなことはどこにも書かれていません。しかしこのことは、エジプト人が残したパピルスに書かれた計算の中でこの法則が頻繁に使われていることから分かります。

古代エジプトの円の面積の扱い

ピラミッドの謎には円周率が関係していますから、次に円の面積を考えましょう。出土したパピルスには、図3.3.5のような、1辺が3の正方形の4隅の角を切ってできる八角形と円が描かれていました。

この八角形と円の面積がほぼ等しいことから、この図は円の面積を表すものだと考えられています。計算しやすいように、正方形の1辺を3ではなく9としましょう。すると、八角形の面積は、正方形の面積 81から影の部分の面積 18 を引いた 63 となります。

エジプト人はこれをもっと計算しやすい 64＝ 8² としました。つまり、

直径 9 の円の面積 ＝ 1辺が8 の正方形の面積。

としたのです。図3.3.6の直径9の円と 8 × 8 の正方形を比べてみてください。

古代エジプト人は円の性質をどこまで知っていたか

エジプト人は円の面積は外接する正方形の面積の 約64 81倍であることを知っていました。すなわち、円の面積が外接する正方形の面積に比例することを認識していたのです。したがって実質的に比の概念を知っていたとみてよいでしょう。また (6) は、面積に対する公式であって、円周に対する公式ではありません。

「円周が直径に比例すること」と「円の面積が外接正方形の面積に比例すること」を数学的に証明したのはギリシア人であり、この2つの比の値が一致することを証明したのはアルキメデス※です。これについてはChapter4で述べます。

元祖ピタゴラスの3つ組

次を満たす3つの自然数 a, b, c をピタゴラスの3つ組といいます。

c² = a² + b²

もちろん、ピタゴラスはピラミッドの時代より千年以上も後の人です。(a, b, c) がピタゴラスの3つ組なら、(a, b, c) を3辺とする三角形は直角三角形となります。もっとも小さいピタゴラスの3つ組は (3, 4, 5) でこれを元祖ピタゴラスの3つ組と呼ぶ人もいます。

問題3.3.3の答えに注目してください。A ＝ 8² , B ＝ 6² , A＋B ＝ 10² となっています。6, 8, 10 をそれぞれ 2 で割ると 3, 4, 5 となります。(3, 4, 5) は元祖ピタゴラスの3つ組であることに注意してください。またこの問題は、2つの正方形の面積の和を計算していて、和も正方形の土地となっています。

現在の所、エジプト人がピタゴラスの定理を知っていたという証拠は見つかっていません。しかし、(3, 4, 5) がピタゴラスの三つ組であること、つまり 3² ＋ 4² ＝ 5² となることは分かっていました。またこの問題が2つの正方形 A と B の和が正方形 C となることを扱っていることより、この三つ組に対しては図で示されるようなピタゴラスの定理が成り立つことを知っていたような気がします。証拠にはなりませんが。