1-4. 四角錐の体積|ピラミッド建設でも使われた四角錐の体積の公式

『積分の源流 アルキメデスの求積』は全16記事からなるWeb連載です。

前節〔1-3 小石の数理〕では砲弾を並べて三角数三角錐数の性質を考えました。今回は四角錐の体積について考えてみましょう。

四角錐数と準立方体

四角錐数:平方数の数列の級数

平方数の数列の級数を考えます。平方数の数列は、以下です。

12, 22, 32, 42, …

この級数の各要素を四角錐数と呼びます。現在の私たちは、次の公式をよく知っていると思います。

四角錐 n番目の四角錐数

四角錐数と準立方体の関係 〜 準一般的な証明 〜

図1.4.1は4番目の四角錐数です。四角錐数と呼ぶよりは、“ピラミッド数”と呼んだ方がよいかもしれません。

図 1.4.1 浅緑と緑の小立方体が階段状に積み重なったピラミッド構造を斜め上方から見下ろしたアイソメ図です。 	•	一番下の段は 4×4 の 16 個の立方体が並び、浅緑色の上面と淡い緑色の側面で描かれています。 	•	その上の2段目は 3×3 の 9 個の立方体で、やや濃い緑色の側面と浅緑色の上面です。 	•	3段目は 2×2 の 4 個、さらに一番上は 1 個の立方体が同じ配色で配置され、全体として4段の段差をつくっています。 	•	各立方体は奥行き方向に薄く描かれた輪郭線で区切られ、手前側の側面がより濃い緑色、奥側の側面が淡い緑色で陰影を表しています。 	•	組み合わさることで、頂点に向かって階段状に縮小していく四角錐状のシルエットを成しています。

古代の人は (1) のような式は使えませんから次のように表現しました。

n番目の四角錐数×6 = (n – 1)番目の準立方体 + n番目の準立方体  (2) 

古代では変数 n は使えませんから n=5 の場合を示します。しかしこの5は特定の自然数を表すのではなく一般の自然数を代表しているのです。このような証明を準一般的な証明といいます。

この証明に、前節で議論した次を使います。

隣り合う2つの三角数の和は平方数になる(図1.3.10 – 再掲)。

三角数の和は平方数

これを現代の式を使って表すと次のようになります。

三角数の和は平方数

n=5の時、すなわち5番目の四角錐数を計算すると次のようになります。

前節で示したように、「n番目の三角錐数×6 = n番目の準立方体」が成立します。したがって (2) が成立します。

四角錐の体積とピラミッドの体積

準立方体は「ほぼ立方体」である

前節で、準立方体は“ほぼ立方体”だと述べました。実際次が成立します。

(n – 1)番目の準立方体 < n番目の立方体 < n番目の準立方体

これを現代の式で書くと次のようになります。

準立方体と立方体の関係

四角錐の体積の公式

数学では、正確な計算も必要ですが、反対におおざっぱに見ることも大切です。(2) をおおざっぱに見ると、「四角錐6個は、ほぼ立方体2個」とみなせますから、「四角錐は、ほぼ立方体の 3 分の1」とみなせます。

1辺が A の正方形を底面とし、高さがH の四角錐の体積 V は次で表されます。

四角錐の体積

古代エジプト人はこの「四角錐の体積の公式」を知っていました。古代エジプト人がどのようにしてこの公式を導いたのかは分かっていません。エジプト人は何万個もの石を積み上げ巨大なピラミッドを建造しました。積み上げた石の個数からここで述べたような方法で公式を得たのかもしれません。

以下でこれを証明しましょう。現代数学で証明しますが、基本的にはアルキメデスがよく用いた方法と同じです。

【四角錐の体積の公式】の証明

図1.4.2 のような四角錐を考えます。

図 1.4.2 前面から見た等脚三角柱の図です。底辺は左右の点 A(左)と B(右)を結ぶ緩やかな弧で示され、その両端から頂点に向かって斜めに伸びる二本の辺が描かれています。頂点から底辺の中点に向かって点線の垂線が引かれ、その垂線と両斜辺、および底辺の左右2つの中間点を結ぶ水平線によって,下方の扇形に近い底部と,上方の小さな面が区切られています。図中、頂点から下ろした点線を含む中央の面(小さな三角錐の側面に相当)の内部領域に「C」とラベルが付けられています。

底面は A×B の長方形、高さは C とします。この四角錐を V とします。V は立体を示すとともに、その体積も示します。

自然数 n を適当に定め

四角錐の体積

と置きます。a×b×c の直方体のブロックを積んで、ピラミッドを作ります。一番下は n×n 個、その上には (n – 1)×(n – 1) 個、…、最後に1個のブロックを載せます。ブロックの総数は

四角錐の体積

となります。このブロックを積んだピラミッドを Vn で表すことにします。図1.4.3が示すように、Vn図1.4.2 の四角錐 V をすっぽりと覆います。Vn から一番下の n×n のブロックを取り除いたピラミッドを Vn-1 とします。図1.4.4 が示すように、V は Vn-1 をすっぽりと覆います。

図 1.4.3 淡い緑色の長方形を階段状に積み上げ、その外側を黒い線で描かれた大きな三角形 V が囲んでいます。底辺には幅が等しい長方形が水平に 5 枚並び、その中央の上に幅 4 枚ぶんの長方形、さらにその中央に幅 3 枚ぶん、次いで幅 2 枚ぶん、最後に 1 枚の長方形が積まれて山型を作っています。長方形群全体の内部が薄緑色(Vₙ と大きく書かれている)で塗りつぶされ、外周の二等辺三角形が放物線の近似領域を示すように配置されています。 図 1.4.4同様に淡い緑色の長方形を階段状に積み上げ、その外側を黒い線で描かれた小さめの三角形 V が囲んでいます。底辺には幅が等しい長方形が水平に 4 枚並び、その中央に幅 3 枚ぶん、さらに中央に幅 2 枚ぶん、最後に 1 枚の長方形が階段状に積まれています。長方形群全体の内部が薄緑色(Vₙ₋₁ と大きく書かれている)で塗りつぶされ、周囲の二等辺三角形が前図より一段階浅い階段近似領域を示しています。

したがって、次が成立します。

Vn−1 < V < Vn (6)

Vn を計算しましょう。Vn は体積 abc のブロックを (5) で示される個数だけ積んだものですから

Vₙ = (n(n+1)(2n+1)/6) × abc = (1/6)(2n³ + 3n² + n) × abc = (abcn³/3) × {1 + 3/(2n) + 1/(2n²)}

となります。したがって (4)より

Vₙ = (1/3) × ABC × {1 + 3/(2n) + 1/(2n²)}

同様にして次が成り立ちます。

Vₙ₋₁ = (1/3) × ABC × {1 − 3/(2n) + 1/(2n²)}

n が十分大きいと、3/2n と 1/2n2 は無視できます。したがって (6) より

Vₙ = (1/3) × ABC

が成立します。つまり、四角錐は外接する直方体の 1/3 となります。

面積の求め方

三角形の面積

自然数の列の n項までを棒グラフで表してみましょう。自然数の列は以下です。

1, 2, 3, …, n

図1.4.5 は n=10 の場合です。

原点 O から右へ伸びる水平軸と、原点を通る垂直軸を描き、水平軸上の区間 OA を、等幅の細長い長方形(淡い緑色)10 枚で分割しています。左端の長方形は低く、右へ行くほど長方形の高さが徐々に高くなり、最後の長方形の頂点が点 B に相当します。各長方形は階段状に並んでおり、関数曲線の下の面積を長方形の和で近似する区分求積法のイメージを表現しています。

1+2+…+n は棒の和で、これはほぼ三角形 OAB の面積とみなすことができます。つまり、

となります。

放物線下の面積

次に平方数の列を考えましょう。

12, 22, 32, …, n2,

これを棒グラフにしたのが図1.4.6 です。棒の上辺の中点を結んでできる曲線が放物線です。

図1.4.6: 縦横に交わる軸を原点 O から右に延ばした水平軸と垂直軸で表し,水平軸上の点 O から A までを区間とする.その区間を等幅の細長い長方形(緑色,階段状)に分割し,各長方形の頂点の上端を滑らかな曲線でつないでいる.左端の長方形はほぼ高さ 0 だが,右に行くほど長方形の高さは増し,最後の長方形の上端は点 B に達している.長方形群と曲線が並置され,区分求積法による面積近似のイメージを表している.

この場合も、和 12+22+ …+n2 は棒の和で、これはほぼ「放物線下の面積」、つまり放物線と線分 OA と AB で囲まれた面積となります。すなわち、

となります。

面積は線の集まりである

放物線の場合も三角形の場合も、n が小さいと誤差がありますが、n が大きくなると誤差は無視できるほどになります。ここで、線分 OA を固定しましょう。n を大きくするということは、OA をさらに細分するということです。すると、棒はどんどん細くなり線となります。つまり、面は“細い”線の集まりになります。

ギリシア人は「平方数は面」と考えていました。細い線を集めると面になるように、薄い面を集めると立体になります。上のピラミッドの体積の計算はこれを利用しました。この事実は、現在の3次元プリンター(3Dプリンター)や、薄い板を張り合わせて作る木工細工(ざいく)などからも想像がつくものと思われます。

まとめ

アルキメデスと数学の歴史

以上が、これからの議論の“予告編”です。現在の私たちは「放物線下の面積」をいとも簡単に計算できます。アルキメデスは同様の問題を込み入った議論を駆使して苦労して求めています。同じ問題をさまざまな方法で何度も解いています。まさに天才ともいえる巧妙で独創的なアイディアが用いられています。現在とどこが違うのでしょうか。そこには数学の発展というものがあるのだと思います。

現在の私たちが持っている“数”という概念を得るのに、人類は途方もない時間と努力を費やしてきました。皆さんは、“長さ”とか“面積”とか“体積”など、小学生でも知っている簡単な概念だと思っていると思います。しかし、これにも“数”と同様に多くの歴史があるのです。

PICK UP!!こちらのWeb連載もおすすめです

数の発明

数の発明

私たちはどのようにして「数」の概念にたどり着いたのか?人類の進化と進歩の歴史を辿ります。

今すぐ読む

積分の源流、アルキメデスの求積

アルキメデスの結果は、やがてニュートンやライプニッツの“積分”へと発展します。ニュートンやライプニッツの難解で当時の最先端の理論も、いまや高校生の受験問題です。アルキメデスが扱った問題は、具体的で直感的に理解できる図形や立体が対象でしたが、解くのに多くのアイディアを必要としました。現在では、適用範囲が大きく広がりましたが、そのぶん理論が抽象的となりました。また、理論と技術を習得しさえすれば、誰でもがみな同じ方法で解けるようになりました。また、解くのに独創的なアイディアも必要なくなりました。

次の章ではアルキメデスの時代の人々が面積や体積をどのように扱っていたのかを詳しく見てみましょう。

『積分の源流 アルキメデスの求積』は全16記事からなるWeb連載です。

language

スポンサーリンク