3-5. 放物線の面積と等比数列 | アルキメデスの求積法を図解で解説
本節では、アルキメデスが考えた方法で放物線の切片の面積を求めます。アルキメデスは数学の分野で様々な業績を残しましたが、この「三角形分割による求積」の方法も有名で、後世に大きな影響を与えました。この方法は前節で考えた定理を…
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3-4. 斜交座標とは？ | アルキメデスの求積の要となる定理を解説
放物線と座標 古代の放物線 現在の私たちは放物線といえば常にXY座標を頭に浮かべ、放物線上の点 P は座標として、実数の組 (x, y) で与えられます。放物線の描き方も決まっていて、放物線の頂点が原点になかったり、放物…
3-3. アルキメデスの放物線の面積｜相似と天秤による古代の求積法
前節では放物線の描き方について解説しました。この節ではアルキメデスが考えた「放物線の切片の面積」について詳しく見てみましょう。アルキメデスの証明には独創的なアイディアによるものが多く、これもその一つなのですが、現在の皆さ…
3-2. 放物線の描き方 | アルキメデスが考えた方法を詳しく解説
アルキメデスは放物線に対するいろいろな性質を知っていて、その性質を使ってさまざまな結果を得ています。放物線の描き方についても示しています。古代ギリシアの時代のアルキメデスが放物線をどのように考えたのか、詳しく見てみましょ…
3-1. 放物線とは？放物線の方程式と接線 | 古代の放物線の表し方
「高校で習う数学など私たちの毎日の生活には何のかかわりもない」というような話をよく聞きます。特に二次方程式とか 放物線 などは、日常生活にはあまり現れません。2千年も前にアルキメデスは放物線、楕円、双曲線などといったとて…
2-8. 円錐の体積の求め方 | アルキメデスが考えた体積の計算方法
現在の私たちはすべての物を数値化して考えます。したがって古代ギリシアでも当然同じだったに違いないと思いがちです。しかし、これまで見てきたように、古代ギリシアでは、長さ、面積、体積、…といったものは“数”とみなしていなかっ…
2-7. 比例中項 | 長方形の正方化・多角形の面積比を詳しく解説
長方形の正方化 長方形の等積変換 線分で囲まれた図形を多角形といいます。多角形は図2.7.1で示されるように三角形に分解できます。 各三角形は前節〔2-6 グノモンの定理〕で述べたように長方形に等積変換でき…
2-6. 等積変換とは？内項外項の定理・グノモンの定理を詳しく解説
第1章では、ピラミッドの体積を求めるのに「小石の数理」を用いました。（詳しく知りたい方は〔1-3 小石の数理〕をご一読ください。）しかし、アルキメデスは小石の数理（整数論）は使わずに、すべて「比の理論」を使…
2-5. 円周と円の和 | ギリシアの三大難問「円の正方化」とは？
地球を一周するロープを1m持ち上げると？ 前節〔2-4 比の理論〕で比の公式がいくつか出てきました。今回はこれらの公式がどのように使われるのかを見てみましょう。その前に皆さんに問題を出します。頭の体操だと思って考えてみて…
2-4. 比の等価性とは？長方形の面積比でわかる比のしくみ
アルキメデスが創り上げた理論は、現在では解析学と呼ばれ、代数学に属します。代数学は“数”を扱うのに対し、アルキメデスが扱った対象は図形や立体などの幾何学的対象で“数”は現れません。代数学の土台となる“掛け算…
2-3. 円周率の定理とは？アルキメデスの考えと現代の円周率を比較解説
現在の私たちは分数も小数も自由に使いこなしています。そして“数”はあまりにも基本的なので、世界史にその名を残した大数学者のアルキメデスが、今では小学生でも知っている分数を使いこなせていなかったなどとは信じが…
2-2. 平方数の和の公式｜「連続する正方形の和」の証明を詳しく解説
平方数の和の公式 現代の公式：2乗の和の公式とは 〔1-4 ピラミッドの体積〕では平方数の和（四角錐数）を考えましたが、これは数の和でした。アルキメデスは、これを面積の和に置き換えた、正方形の和を考えています。 平方数の…
2-1. 数と量とは？｜古代ギリシアの量の足し算と基本等差列を解説
〔1-1アルキメデスと無限〕で述べたように古代ギリシアの数学では数と量を明確に区別していました。古代の人にとって、“数”とは個数を数えるときにだけ用いる自然数であって、長さや、面積や、体積などは“量”として扱い、“数”と…
1-4. 四角錐の体積｜ピラミッド建設でも使われた四角錐の体積の公式
前節〔1-3 小石の数理〕では砲弾を並べて三角数や三角錐数の性質を考えました。今回は四角錐の体積について考えてみましょう。 四角錐数と準立方体 四角錐数：平方数の数列の級数 平方数の数列の級数を考えます。平方数の数列は、…
1-3. 三角数・正方形数・立方体数とは？古代ギリシアの数の分類を解説
現代数学は、抽象的で、形式的で無味乾燥だと感じている人が多いかもしれません。古代の数学もこんな風だったのでしょうか。ギリシア数学には「小石の数理」と呼ばれるものがあり、これは数学の原初の姿をとどめており、とても具体的で直…
1-2. 数列とは何か？三角数・三角錐数を図でわかりやすく解説
数学用語はなぜ必要か 本連載では、アルキメデスの理論をなるべく誰にでも分かるように解説したいと思っています。数学が近づきがたいと思われるのは、数学が独特の言い回しをすること、特に“式”を多用することのようです。「数学は言…
1-1. 無限とは何か？古代ギリシアのアルキメデスが挑んだ無限の謎
古代の数学を学ぶということ 数学は言語である アルキメデスは、世界中の誰でも知っているほどの有名人で、彼の行った研究は現代数学発展の大きな礎(いしずえ)となりました。特に、基本的な図形や立体の、面積とか体積を求める方法（…
5-7.ピラミッドに隠された謎-まとめ｜歴史と数学が語る古代の真実
古代エジプトのピラミッドに隠される謎について、数学的な観点からお話をすすめてきました。 時代によって変わる歴史の解釈 エジプトのクフ王は極悪非情な暴君で国民を奴隷のようにこき使った。クフ王の悪行はとどまることを知らず、資…
4-5.アルキメデスの円周率｜正多角形から導く円周率の求め方
アルキメデスの考えた円周率とは 数学史を通して最も有名な数学者と言えばアルキメデスです。アルキメデスは、放物線の切片の面積、球の表面積や球の体積など多くの成果を残していますが、そのなかでも円周率 π はだれでもが理解でき…
4-3. 黄金比とは何か｜古代ギリシア幾何学と黄金率・フィボナッチ数列
黄金比とは 黄金比(外中比)とギリシアの幾何学 黄金比は、ギリシアの幾何学では外中比と呼ばれ、ギリシア「幾何学」のハイライトの一つです。黄金比のことをエジプト人が知っていたかどうかは疑問ですが、数学史では黄金比がよく出て…