【3.数の位取りとは？位取り記数法をソロバンでわかりやすく解説

位取り方式とは、数字の表れる位置によって位が定まる記数法のことです。本節ではソロバンや貨幣系を使ってわかりやすく説明します。

日本の記数法：10進数と位取り方式

現在私たちが使っている算用数字 0, 1, 2, …, 9 は、もともとはインドで生まれたようです。それがアラビアに伝わり、アラビアからヨーロッパに伝わりました。したがって、ヨーロッパの人たちはこれをアラビア数字と呼んでいました。しかし、最近ではこれがインド由来であることが認識されるようになり、インド・アラビア数字と呼ぶようになってきましたが、この名称は少し長いので本連載では昔のとおりに「アラビア数字」とか「算用数字」と呼ぶことにします。

本連載ではバビロニアの記数法を扱っていきますが、まず私たち日本人に馴染みのある日本の記数法から見てみましょう。説明のために現代の日本語の記数法を少し変更しています。私たちは、たとえば 321 を 3百2十1 と書くことができます。都合により、3, 2, 1 を漢数字ではなくアラビア数字で書きました。10進数 321 に出てくる3つの数字 3, 2, 1 はそれぞれ「百が3個、十が2個、一が1個」を表しています。このような 一、十、百、… のことを 位くらい名 と呼ぶことにします。次は位名の一部です。

位名と9個の数字 1, 2, 3, …, 9 があれば 位名が存在する範囲のどんな数も表すことができます 。位名をそれぞれを抽象的な数字とみなせば、この位名を使って単一文字方式として数を表すことができます。たとえば「321」は

\(百百百十十一\)

と表せます。

数学では任意の対象を示すのに変数を用います。a, b, c を任意の数字とします。3つの数字 a, b, c からなる10進数を abc と書くと、一般には a×b×c と3つの数の積を表すものと取られてしまいます。したがって次のように書くことにします。10進数 abc は  

\(a百b十c一\)

と表します。通常最後の“一”は書きませんが、以下ではこれを書くこととします（もちろんこの書き方は一般的ではありません）。一、十、百、… という位名は、図3.1 のように、10⁰, 10¹, 10², … と表すことができます。そこで次のように書くことも許します。10進数 abc は

\(a10^2+b10^1+c10^0\)

と表します。ここで、10², 10¹, 10⁰ は位名です。

記数法などの表現論では、「表現とそれの表す対象」を厳密に区別します。例えば「123は覚えやすいキーワードだ」と言った場合 123 は3文字の文字列で、数字以外の記号を含むことができますが、「123メートル」といった場合、123 は 123 という文字列が表している数を意味します。しかし、このような厳密な議論は初心者にとって分かりにくいと思うので、上のような表記法を使うことにしました。この表記法を使えば、たとえば 321 の場合、次のように表すと、これが10進数であることと、これがどのような数を表しているのかがはっきりと示されます。

\(3百2十1一\)
\(3・10^2 + 2・10^1 + 1・10^0\)