プラトン立体とは？五つの正多面体をわかりやすく解説

正多面体にはどんな種類があるかご存知ですか？この記事では、数学や自然界で重要な役割を持つ『プラトン立体』について、初心者にもわかりやすく解説します。

プラトンと幾何学の関係：哲学と数学をつなぐ言葉「神は常に幾何学する」

古代ギリシアの哲学者プラトン※は、後の哲学者に「すべての哲学はプラトンの脚注にすぎない」
と言わしめたほど、思想界に大きな影響を与えた人物です。

彼は数学教育を非常に重視しており、数々の名言を残しています。

たとえば、「学問とは知ること自体を目的として行うものであり、お金儲けや実用のために行うものではない」という考えは、現代にも通じる理念です。また、プラトンは神秘主義的な思想の持ち主でもあり、数や幾何学的な図形の中に宇宙の真理が隠されていると信じていました。

その象徴ともいえるのが、「神は常に幾何学する」という有名な言葉です。この言葉は、彼がいかに幾何学を神聖視していたかを示しています。

なぜ正多面体は世の中にたった5種類しかないのか？

「プラトンの立体」または「宇宙立体」とも呼ばれる正多面体についてご紹介します。

数学の世界では、これらの立体を単に正多面体と呼びます。正多面体とは、次の2つの条件を満たす立体のことです。

1.すべての面が同じ正多角形で構成されていること

2.すべての頂点において、同じ数の面が出会っていること

この2つ目の条件が必要なのは、正四面体を2つくっつけたような立体を除外するためです。正多面体は面を増やすことでいくらでも作ることができるように思えますが、実際には、この条件を満たす立体は、世界にたった5種類しか存在しません。

以下に示す5つの立体こそが、「プラトン立体」と呼ばれる、数学的にも哲学的にも特別な存在なのです。

正多面体がこの5つに限られる理由は、実はそれほど難しくありません。ポイントは、一つの頂点に何枚の正多角形が集まるかを考えることです。

まずは正三角形を使って考えてみましょう。

• 3枚の正三角形を1点で合わせると、「正四面体」ができます。
• 4枚の正三角形を頂点で合わせると、底面が正方形のピラミッドの形になります。このピラミッドを2つ貼り合わせると、「正八面体」ができます。
• 5枚の正三角形を合わせると、「正二十面体」の一部になります。

つまり、三角形を使った正多面体は3種類作ることができるわけです。

正三角形の一つの内角は60°です。

この三角形を6枚、1点に集めると 60 × 6 = 360° となり、角が平らな平面になってしまいます。つまり、立体を作ることができないのです。

同じように他の正多角形の場合を見てみましょう。

• 正方形の内角は90°。これを3枚集めると 90 × 3 = 270°、4枚で 360°。
  → 正六面体（立方体）は作れますが、それ以外は平面になります。
• 正五角形の内角は108°。これを3枚集めると 324°で、まだ360°未満。
  → 正十二面体が可能です。
• 正六角形の内角は120°。
  →3枚で 360°ちょうどになるため、やはり立体にはなりません。

このように、角数が多くなるほど内角も大きくなり、3枚集めるだけで360°を超えてしまいます。

その結果、正六角形以上の正多角形では正多面体は作れないことがわかります。

以上の理由から、正多面体は図1に示す5種類に限られるのです。

宇宙を構成する四大元素：正多面体に対応づけられた宇宙の構成要素

古代ギリシア人は、この世界が「火・空気・水・土」の4つの元素から成り立っていると考えていました。哲学者プラトンはその著書『ティマイオス』の中で、この四大元素と五つの正多面体の関係性について独自の理論を展開します。

プラトンによれば、火には正四面体、空気には正八面体、水には正二十面体、土には正六面体を対応させました。これらの形は、それぞれの元素の性質を象徴しているとされ、古代においては哲学と幾何学が深く結びついていたことがわかります。

プラトンは、正多面体はさらに2種類の直角三角形に分解できると考えました。それが、正三角形を半分にした三角形と、直角二等辺三角形です。

この2つの三角形を、プラトンは「ストイケイア（stoicheia）」──基本三角形と呼びました。

興味深いことに、私たちが文房具店などで手にする三角定規の形も、この2種類の三角形がもとになっています。「ストイケイア（στοιχεῖα）」という言葉には、「基本」「基礎」「構成単位」といった意味があります。

この語は後に、数学者ユークリッド※が著した名著『原論』のギリシア語タイトル『ストイケイア』にも用いられています。

プラトンは次のように述べています。

「神はこれらの四大元素の始原（アルケー）として、2種類の基本三角形（ストイケイア）を与えなさった」

ここでいうストイケイアとは、

• 直角二等辺三角形
• 正三角形を2等分した直角三角形 の2種類です。

プラトンの考えでは、すべての正多面体はこの基本三角形から構成されているとされます。

たとえば：

• 正三角形は、6個の基本三角形からできています（図4参照）。
• 正方形は、8個の基本三角形から構成されます。

これをもとに、各正多面体を構成する基本三角形の総数を計算すると、以下のようになります。

正多面体	面の数	1面あたりの基本三角形	合計
正四面体	４面	6個	24個
正八面体	8面	6個	48個
正二十面体	20面	6個	120個

このように、正多面体は“神が与えた基本三角形”から緻密に組み上げられていると、プラトンは考えたのです。

四大元素に割り当てられた正多面体の意味とは？プラトンの宇宙観

プラトンは、五つの正多面体を四大元素に対応させた際、

それぞれの立体の形や性質をもとに割り当てを行いました。

• 正四面体は鋭い角を持ち、とがった形状をしているため、「火」を象徴します。
• 正六面体（立方体）は、面が正方形で安定感があり、平面にぴったり敷き詰めることができるため、「土（大地）」に割り当てられました。
• 正二十面体は、もっとも球体に近い丸みのある形で、「水」を表しています。

さらに、火（正四面体）と水（正二十面体）はいずれも三角形の面で構成されていますが、その中間にあたるのが正八面体＝空気です。

プラトンの思想では、

• 水は蒸発して空気に変わる
• 火は空気よりも軽い（＝形が小さい）

と考えられていたようです。

こうして、正多面体の形と自然の性質とが対応づけられ、宇宙の構造を幾何学で説明しようとする試みが、プラトンの世界観の中で展開されていました。

宇宙に満ちる「第五の元素」──正十二面体とエーテルの神秘

では、残る一つ――正十二面体は何を表すのでしょうか。

正十二面体は、すべての面が正五角形で構成された美しい立体です。プラトンは、この正十二面体を「宇宙全体を包むもの」、すなわちエーテル（第五の元素）に対応させました。彼はピタゴラス学派から強い影響を受けており、数に神秘的な意味を見出す「数神秘主義」や、霊魂の輪廻転生といった思想もそこから継承しています。

そして、正五角形は、ピタゴラス学派が大切にした図形である五芒星（ペンタグラム）を内包する特別な形。正五角形の各頂点を対角線で結んでいくと、中心にもう一つの正五角形が現れます。

さらに、それぞれの頂点を一筆書きで対角線に沿ってつないでいくと、星形（五芒星）が浮かび上がります。この星形は「五芒星（ごぼうせい）」と呼ばれ、ピタゴラス学派のシンボルでもあります。さらに、正五角形の各頂点から向かいの辺に垂線を下ろすと、正五角形の内部は30個の直角三角形に分割されます（図6参照）。

内訳は次の通りです：

• 中心部の小さな正五角形の中に 10個
• 五芒星の“腕”の部分に 10個
• 五芒星の外側部分に 10個

これらを合わせて、合計30個の直角三角形が正五角形の中に現れる構造となります。

こうして、正五角形に現れた30個の直角三角形が、正十二面体の各面に分布すると、30 × 12 = 360個の直角三角形で構成されることになります。

プラトンは、この正十二面体を万物を包み込む「宇宙のうつわ」と見なしました。ここに込められた数字の意味にも、ピタゴラス学派の思想が色濃く反映されています。

• 30 は「1ヵ月の日数」
• 12 は「1年の月数」
• 6 や 10 は、ピタゴラス学派が神聖な数として重んじた数字です

このように、宇宙を表す形としての正十二面体には、幾何学的な美しさだけでなく、数の象徴性や哲学的意味も込められているのです。

のちにこの正十二面体は宇宙に充満する神秘的な第5の元素「エーテル」だと考えられるようになりました。エーテルは、ごく最近の19世紀になるまで、多くの人がその存在を信じていました。もし、光（あるいは重力）が波だとすると、波を伝える何らかのものが存在しなければなりません。それがエーテルだと考えられていたのです。

のちにこの正十二面体は、宇宙全体に充満する神秘的な「第5の元素」──エーテルと結びつけられるようになりました。

このエーテルという概念は、実はごく最近の19世紀に入る頃まで、多くの科学者に信じられていたものです。なぜなら、当時は光や重力を「波」と考えるなら、それを伝える“媒体”が必要だと考えられていたからです。海の波が水を、音の波が空気を必要とするように、宇宙空間に波を伝える何か──それこそが“エーテル”だと信じられていたのです。

ピタゴラス学派のシンボルマークである五芒星と黄金比に関する詳しい記事はこちら▼
黄金比 〜五芒星に現われる美しい比率〜

ダ・ヴィンチも魅了された幾何学の美──プラトン立体と『神聖な比例』

プラトンの立体は、その後の時代にも多くの人々に引用され、愛されてきました。

なかでも、古代ギリシア・ローマ文化が再評価されたルネサンス期において、その美しさと象徴性はひときわ強い注目を集めました。

この時代の代表的な人物といえば、レオナルド・ダ・ヴィンチ※。彼は偉大な画家であると同時に、卓越したイラストレーターでもありました。

ダ・ヴィンチの友人に、ルカ・パチョーリ※という修道士がいました。パチョーリは「複式簿記」を広めた人物としても知られていますが、同時に数学を神学の一部と考えていた思想家でもありました。彼は『神聖な比例』という著作の中で、数学的比例と神の調和について論じています。

この本の図版を担当したのが、ダ・ヴィンチです。彼は、プラトンの立体を含む正多面体のイラストを描き、その正確さと美しさで高く評価されました。あまりの精緻さに、実際に模型を作ってから描いたのではないかとも言われており、中には「ダ・ヴィンチが作った模型を見たことがある」と語る人もいたほどです。ただし、それらの模型は後年の模倣品であり、本物のダ・ヴィンチ作ではなかったと考えられています。

レオナルド・ダ・ヴィンチとプラトンの立体に関する詳しい記事はこちら▼
『Web連載ピラミッドに隠された謎』5-4.ウィトルウィウス的人体図と黄金比

ケプラーが夢見た宇宙──プラトン立体で説明された惑星の秘密

その後、ヨーロッパには科学革命の時代が訪れました。

ニュートン※やケプラー※といった偉大な科学者たちが活躍した時代です。

その一人であるヨハネス・ケプラーもまた、神秘主義的な宇宙観を持っていました。

彼は「この宇宙は、神が幾何学を用いて創造したに違いない」と考えていたのです。

当時知られていた惑星は、水星・金星・地球・火星・木星・土星の6つ。

ケプラーはふと疑問を抱きました。

「どうして惑星はちょうど6個なのか？ これは、プラトンの立体が5種類しか存在しないことと関係があるに違いない。」

当時の天文学者たちは、古代ギリシアのユークリッド幾何学を学んでおり、

その中には正多面体に内接・外接する球の半径に関する理論が含まれていました。

ケプラーはこの理論をもとに、次のようなモデルを構想します：

• 一番内側の球に水星の軌道
• その外側に正八面体
• 次に金星の軌道の球
• その外側に正二十面体
• 以下、地球 → 正十二面体 → 火星 → 正四面体 → 木星 → 正六面体 → 土星

つまり、惑星の軌道を、プラトンの立体とそれに接する球が順に重なる構造として捉えたのです。

当時の観測結果とこのモデルの数値は、ほぼ一致していました。しかし後年、ケプラー自身が発見した「惑星の軌道は円ではなく楕円である」という事実は、この理論と根本的に矛盾してしまいます。それでも彼はまったく動じることなく、この「宇宙＝プラトン立体説」を終生、誇りをもって信じ続けました。

こうして、プラトンの立体は古代から近世にいたるまで、科学者たちを魅了し続けたのです。

数々の偉業を達成したニュートンとはどのような人物だったのでしょうか。科学革命と呼ばれる17世紀の時代背景とニュートンの人物像にせまる連載はこちらから▼
最後のバビロニア人『ニュートン』のお話 [Vol.1]：科学革命の旗手

 まとめ：幾何学に宿る宇宙のかたち──プラトンの立体をめぐって

古代ギリシアの哲学者プラトンは、正多面体の幾何学的な美しさと秩序の中に、宇宙の真理が宿っていると考えました。

彼が注目したのは、完全な対称性をもつ五つの立体──「プラトンの立体」。それぞれの立体は、火・空気・水・土という四大元素に割り当てられ、そして最も神秘的な正十二面体は、宇宙全体を満たす「エーテル」を象徴するものとされました。さらに、これらの形は単なる数学的図形ではなく、数の神秘や自然との対応関係を含んだ深い思想体系を構成しており、ピタゴラス学派や後の哲学者・科学者たちにも大きな影響を与えました。

ルネサンス期にはダ・ヴィンチがその美を精緻なイラストに描き、ケプラーは惑星の軌道をプラトンの立体で説明しようと試みました。こうして「プラトンの立体」は、神と自然、哲学と数学、宇宙と人間の思索をつなぐ象徴的なかたちとして、古代から現代にいたるまで、多くの人々の想像力と探究心を刺激し続けてきたのです。