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黄金比〜五芒星に現われる美しい比率〜

最も美しい比率ー黄金比ー

それは「最も美しい比率」とも呼ばれ、古代ギリシアの数学から現代のデザイン、そして自然界にまで広く登場する神秘的な数です。

本記事では、黄金比の定義や計算方法に始まり、
フィボナッチ数列との関係、五芒星やピラミッドに現れる構造、さらには自然界に見られる黄金比のパターンまで、
黄金比の魅力をわかりやすく紹介していきます。

身の回りに潜む「美しさの法則」を、数学の視点から一緒に探ってみましょう。

黄金比とは

「黄金比（golden ratio）」とは、人が最も美しいと感じる比率のひとつです。美術作品や建築、商業デザインにも多く取り入れられており、皆さんも一度は「黄金比」という言葉を耳にしたことがあるのではないでしょうか。

では、この「黄金比」とは具体的にどのような比率なのでしょうか？

黄金比の定義と計算方法

図1のように、線分ABを点Cで2つに分割してみましょう。ACを短い部分 a、CBを長い部分 bとします。このとき、次の関係を満たすように分割された比率を「黄金分割」と呼びます：

短い方 : 長い方 = 長い方 : 全体

これを式で表すと、次のようになります。

a : b = b : a + b　　　　　　　　　　　　　　　　　( 1 )

この関係を満たす比率 b/a または a/bを、 黄金比 と呼び、その比率の値（およそ 1.618…）は、 黄金率 ともいわれます。

この比率は、ギリシア文字 φふぁいで表されることが多く、自然界の構造や古典建築、五芒星などにも現れることで知られています。

黄金比の計算

前述の関係式 (1) に外積＝内積の関係を適用すると、次のような式が導かれます：

b² = a × ( a + b )　　　　　　　　　　　　( 2 )　

この式（2）の両辺を a^2 で割り、x = b / a とおくと、次の二次方程式が得られます：

x² = 1 + x　　　　　　　　　　　　　　　( 3 )

この方程式（3）を解くと、正の解は以下のようになります：

φ = ( 1 + √5 ) / 2 = 1.6180339887…　　　 ( 4 )

となります。この φ が黄金率で、1 : φ が黄金比です。

黄金比とフィボナッチ数列の関係

黄金比 φ（ファイ）は、自然界にも現れる美しい比率として知られています。実はこの黄金比、フィボナッチ数列と深い関係があります。

フィボナッチ数列とは？

フィボナッチ数列は、次のような数の並びです：

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

この数列の隣り合う数の比（後の数 ÷ 前の数）を順に計算してみましょう：

1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1.5
5/3 ≒ 1.666…
8/5 = 1.6
13/8 ≒ 1.625
21/13 ≒ 1.615…
34/21 ≒ 1.619…

このように、比の値は次第に φ（1.6180339887…）に近づいていきます。

フィボナッチ数列の隣接項の比は、黄金比に収束することがわかります。この性質は、植物の葉の配置や貝殻の渦、銀河の形状など、自然界の多くの現象とも関連があると言われています。

関連記事以下の記事で詳しく解説しています++。

フィボナッチ数列とは？〜自然界にも存在する不思議な数列〜

ギリシア数学における「比」の概念とは？

古代ギリシア数学の特徴のひとつは、「比」という考え方に重きを置いていた点です。なかでも、今回のテーマである黄金比（古代では「外中比」）は、特に注目されてきました。

ギリシア幾何学では数値を使わない？

ギリシアの数学、特に「幾何学」は、定規とコンパスのみを用いて構築されていました。ここでは数値を用いず、図形的な構成や関係に基づいて理論を展開します。
これは「数値を使ってはいけない」という禁止ではなく、数学を構築する前提として“数値”が存在していなかったことによります。ギリシア幾何学では、まず定義や公理（使ってよい概念）を明確にしたうえで、論理を積み重ねていくスタイルがとられていたのです。この方式はギリシア以降数学の標準として踏襲されてきます。

「比」は数値ではなく、2つの量の関係

古代ギリシア人にとっての比 a : bは、現代のように「b ÷ a」という数値そのものを意味するのではなく、2つの量aとbのあいだの“関係”を表すものでした。
また、無理数 φ（ファイ）＝1.618… のような概念も、当時は「数」としては認識されていません。無理数が数学の中で「数値」として扱われるようになるのは、もっと後の近世以降のことです。