フィボナッチ数列とは？〜自然界にも存在する不思議な数列〜

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…このように並んだ数字にどのような規則があるかわかりますか？この数列はフィボナッチ数列と呼ばれています。フィボナッチ数列は入試問題などにも登場することがあるので、数字の並びを見てすぐにピンときた方もいるのではないでしょうか。今回は不思議な性質を持つこの数列について調べてみましょう。

フィボナッチ数列にはどのような規則があるか

次のような数列をフィボナッチ数列といいます。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

フィボナッチ数列は「前の2項の和が次の項になる」という規則性をもっています。例えば最初に現れる3つの項を見てみると、1 + 1 = 2 となっています。同様に2項目から3つの項は、1 + 2 = 3、3項目から3つの項は、2 + 3 = 5 … というように数列が続きます。

名前の由来となったフィボナッチ（ピサのレオナルド）とは？

フィボナッチ数列の名前の由来となったフィボナッチ※は、中世イタリアの数学者でピサのレオナルドとも呼ばれます。フィボナッチは若いころ、父の商売のため、ビザンティン(トルコ)、シチリア、エジプト、シリアなど東地中海沿岸地方を訪れ、そこで当時の進んだアラビア数学を学び、西暦1200 年にピザに戻ってからは、学んだものをまとめて出版しました。しかし、当時のヨーロッパの数学はまだまだ遅れていて、フィボナッチの著作が受け入れられるようになるまで、それから200 年以上の歳月を必要としました。フィボナッチ数列もその著作に書かれていたもので、元のお話は古いインドのサンスクリット語の詞にあるそうです。

またこの数列が注目されるようになったのはフィボナッチの著作から600 年以上も後のことで、数論の研究者のエドゥアール•リュカという数学者がこの数列にフィボナッチ数列という名前をつけ、数学的な研究を始めてからのことです。

ウサギの問題：1年後うさぎは何つがいになるか？

フィボナッチの著作には次のようなお話が載っています。

一人の農夫が1つがいの子うさぎをもらいました。子うさぎは1 ヶ月で大人になり、2ヶ月目の直前から子供を生みだします。1つがいのうさぎは1ヶ月ごとに1つがいの子うさぎを生みます。1年後にはうさぎは何つがいになるでしょうか。1つがいとは、オス1 匹メス1 匹の計2 匹のことです。（図1）

フィボナッチの木

図2の木は、フィボナッチの木 と呼ばれています。黄色の丸は1つがいの子うさぎを、青の丸は1 つがいの親うさぎを表します。一番上の頂点をこの木の根と言います。奇妙なことに数学ではよく、木をこのように“ 逆さま” に書きます。つまり各頂点から枝が下向きに出ています。この木では頂点から出ている枝の数は 1 本か2 本です。一番下の枝の出ていない頂点を葉と言います。一番上の頂点（すなわち根）をレベル0、次の頂点をレベル1 と、上から順にレベルを 0, 1, 2, … とつけます。

図2の右側の数字は、そのレベルの頂点の個数を表します。括弧の中は青丸の個数、すなわち親のうさぎのつがいの数です。レベル n の頂点の個数を uₙ で表すことにします。すると「 u₀ , u₁ , u₂ , … 」は上で述べたフィボナッチ数列になっています。おもしろいことに、括弧の中もフィボナッチ数列となっています。

フィボナッチ数列の漸化式

もう一度、図2を復習しましょう。レベル n に書かれている uₙ ( uₙ₋₁ ) の uₙ は n ヶ月後のつがい数を、uₙ₋₁ はその中の親うさぎのつがい数を表します。したがって子うさぎのつがい数は、 uₙ – uₙ₋₁ となります。uₙ のつがいの中で、子供を生むのは親のつがいの uₙ₋₁ だけで、つがい数は uₙ₋₁ だけ増加しますから、( n + 1 )ヶ月目のつがい数 uₙ₊₁ は「 uₙ₊₁ = uₙ + uₙ₋₁ 」となります。つまり「前の2項の和が次の項になる」という規則を満たしています。

フィボナッチが定義した数列は 1, 2, 3, 5, 8, … だったのですが、その後最初に 1 が加えられました。最近では1の前にさらに0を加えたものをフィボナッチ数列とすることがあります。

フィボナッチ数列とは次で表される数列です。

u₁ = 1, u₂ = 1,   uₙ₊₁ = uₙ + uₙ₋₁ ( n = 2, 3, 4, … )

フィボナッチ数列は思わぬところでよく顔を出します。人工的なものだけでなく、自然界にはフィボナッチ数列がいたるところに存在しているのです。フィボナッチ数列が自然界に現れるのは、一種の「自己相似性」のためだと思われます。つまり、成長していく過程で、これまでに作ったものと相似なものを構成するようにすれば、必要な情報が節約できます。

黄金比とフィボナッチ数列

フィボナッチ数列は他にも不思議な性質を持っています。フィボナッチ数列の隣り合った数の比、つまり uₙ₊₁ / uₙ は黄金比の近似値となっています。 nが大きくなると、より正確な黄金比に近づいていきます。「黄金比」は人間が最も美しいと感じる比率とされていて、建造物や商業デザインの中にも登場します。フィボナッチ数列と同様、黄金比も数学史の中で度々取り上げられ、議論されてきました。黄金比に関しては別のお話でご紹介したいと思います。