黄金比 とは

黄金比とは

黄金比とは人間が最も美しいと感じる比率とされてる比率のことで、美術や建築、商業デザインにも取り入れられています。

線分を二つに分割するとき、「短い方：長い方＝長い方：全体」となるように分割する分割のしかたを黄金分割と呼び、この時現れる比を黄金比といいます。下の図を見てください。

線分 AB を点 C で2 つに分割します。AC が CB より短いとし、ACの長さを a、CB の長さを b とします。

a : b = b : a + b　　　　　　　　　　　( 1 )

( 1 ) を満たすa : b を黄金比といい、b / a を黄金率と呼びます。（ b / a の逆数 a / b を黄金率と呼ぶこともあります。）黄金率はよくギリシア文字 φふぁいで表されます。

黄金比の計算

「外積の項 = 内積の項」なので、 ( 1 ) は

b² = a × ( a + b )　　　　　　　　　　( 2 )　

となります。( 2 ) の両辺を a²  で割り、x = b / a とおくと、次の二次方程式が得られます。

x²  = 1 + x　　　　　　　　　　　　　( 3 )

二次方程式 ( 3 ) の正の解は

φ = ( 1 + √5 ) / 2 = 1.6180339887…　 ( 4 )

となります。この φ が黄金率で、1 : φ が黄金比です。

白銀比とは

白銀比は、黄金比と同じように「美しい」とされる比率の一つです。1 : √2（約1 : 1.414）で成り立つ比率のことを指します。

白銀比は日本の伝統美と関わりが深い比率です。たとえば、日本の仏像や伝統的な建築物（法隆寺の五重塔など）には白銀比が取り入れられていると言われています。また、現在でも白銀比は私たちの身近なところで活用されており、特に紙の規格で使われています。

日本で使われるA4サイズやB5サイズの紙は、1 : √2の比率に基づいて作られています。白銀比の比率を持つ長方形は、短い辺を2つに折っても元の形と相似形（同じ比率）になります。この特性があるため、白銀比の紙はとても実用的で、折り畳んでも余りが出ないなどの利点があります。

黄金長方形

縦と横の比率が黄金比になっている長方形のことを黄金長方形と呼びます。黄金長方形には特徴的な性質があります。それは、正方形部分を取り除いた残りの部分が再び「黄金長方形」になることです。この性質を繰り返していくと、どんどん小さな黄金長方形ができていきます。このような構造を再帰構造 といいます。下の図は2辺の比が黄金比 a：b となる黄金長方形です。

この長方形から、a × a の正方形を切り取ります。すると残りの部分も、黄金比の長方形となります。この残りの長方形に対しても、正方形を切り取るという操作を適用することができます。この操作を繰り返すと無限に続く再帰構造が実現できます。

黄金長方形を順に分割しながら、それぞれの正方形の対角に曲線を描いていくと、中心に向かって渦巻く「黄金螺旋」ができます。この螺旋は、自然界に見られる貝殻や植物の形にもよく似ており、自然界にもこの形状が多く存在しています。

フィボナッチ数列との関係

黄金比と「フィボナッチ数列」は、深い関係があります。フィボナッチ数列とは、次のように始まる数字の並びです。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

この数列は「前の2項の和が次の項になる」という規則性をもっています。フィボナッチ数列で隣り合う数字の比をとると、その値は次第に黄金比に近づきます。

フィボナッチ数列は自然界の植物の葉の配置や巻貝の渦巻き、果物の種の並び方などにも現れ、黄金比と同じように自然の中で美しい形を生み出す法則とされています。

こちらの記事で詳しく解説しています▼
フィボナッチ数列とは？〜自然界にも存在する不思議な数列〜

黄金比の歴史

ギリシア数学の特徴の一つは“ 比” であり、その中でも黄金比は特に有名です。黄金比という言葉は近世になってできた言葉で、ギリシア幾何学では外中比と呼ばれていました。ギリシア数学の比の理論と黄金比に関する詳しい記事はこちら
Web連載『ピラミットに隠された謎』 4-3.黄金比とは何か