「ストイケイア」は、プラトンの基本三角形にも使われた
「ストイケイア」という言葉は、ユークリッドの著書の題名としてだけでなく、プラトンプラトン古代ギリシアの哲学者詳しく見る →が使った「基本三角形」という意味でも登場します。
プラトンは著書『ティマイオスティマイオスプラトンの対話篇。宇宙を構成する火・空気・水・土の4元素を、5つある正多面体（プラトンの立体）のうち4つに割り当てたことで知られる。』の中で、火・空気・水・土という4つの元素に、正多面体正多面体（プラトン立体）すべての面が合同な正多角形で、各頂点に集まる面の数もすべて等しい凸多面体。この条件を満たす立体は5種類しか存在しない。のうち4つを割り当てました。火は正四面体、空気は正八面体、水は正二十面体、土は正六面体です。
そしてこの4つの立体の面は、さらに2種類の直角三角形に分解できると考えました。正三角形の半分と、直角二等辺三角形です。この2つの三角形を「ストイケイア（基本三角形）」と呼びました。現在私たちが文房具店で買う三角定規は、まさにこの2つの形をしています。
プラトンは、神がこの2種類の三角形を、4つの元素の「始原（アルケー）」として与えた、と書いています。どの立体も、元をたどればこの三角形の組み合わせでできている、というわけです。
同じ「ストイケイア」という言葉が、ユークリッドにとっては「数学の基本命題の体系」を、プラトンにとっては「物体を組み立てる幾何学的な構成要素」を指していました。この共通点は、古代ギリシア人が「基本的な構成要素を積み上げて世界を説明する」という発想を、数学と自然哲学の両方で共有していたことをうかがわせます。
「平行線の公理」が生んだ非ユークリッド幾何
『原論』第I巻は、23の定義のあと、5つの公準と、5つの共通概念（のちに公理と呼ばれるもの。版によっては9つ挙げるものもあります）から始まります。
そのうち5番目の公準5は、もとの言い回しではこうなっています。
「ある直線が2本の直線と交わるとき、同じ側の内角の和が2直角（180度）より小さいならば、その2本の直線は、限りなくのばすと、その側で交わる」
いまの言葉で言いかえると、「直線の外にある1点を通って、その直線と平行な直線は、ちょうど1本だけ引ける」ということです。平行線について述べているので「平行線公準」（平行線の公理とも）と呼ばれます。
この公準5は、書かれてから2000年ものあいだ数学者たちを悩ませ続けました。ほかの前提から導こうとする試みが繰り返されましたが、どれも成功しませんでした。
19世紀になってようやく、「公準5が成り立たない」と仮定しても矛盾が生じないことが示されます。こうして生まれたのが非ユークリッド幾何非ユークリッド幾何ユークリッドの『原論』にある「平行線の公理」（公準5）を否定することで成り立つ、別の体系の幾何学。です。
ユークリッド幾何だけが正しい理論ではなかった。この発見は、数学の世界に大きな衝撃を与えました。数学は1つではなく、前提の置き方しだいでいくつもありうるのです。いまでは非ユークリッド幾何は、アインシュタインの相対性理論になくてはならないものになっています。
この本を見るポゥじいそして彼が書き残した名著『原論』は、聖書の次に読まれた本とすら言われておる。数学の基本的な考え方は、まさにこの『原論』を手本に育ってきたのじゃ。
