トレミーの定理 とは

トレミーの定理とは

トレミーの定理は、円に内接する四辺形の対角線と辺の長さの関係を述べた定理です。円に内接する四辺形 ABCDでは次が成り立ちます。

AB⋅CD + BC⋅AD = AC⋅BD

つまり、「対辺の積の和は対角線の積に等しい」という関係が成り立ちます。

トレミーの定理の証明

上の図のように、対角線BD上に∠BAE = ∠CADとなるように点Eをとります。

円周角の定理（同じ孤に対する円周角は等しい）より ∠ABE = ∠ACD です。２組の角がそれぞれ等しいので三角形ABEと三角形ACDは相似です。

よって

AB : BE = AC : CD
AB・CD = AC・BE　　(1)

同様に円周角の定理より∠BCA = ∠EDA。∠BAC = ∠EADなので三角形ABCと三角形AEDは相似です。

よって

AC : BC = AD : DE
AD・BC = AC・DE　　(2)

(1)(2)の式を足すと

AB・CD + AD・BC = AC・BE + AC・DE
AB・CD + AD・BC = AC・( BE + DE )
AB・CD + AD・BC = AC・BD

名前の由来となったトレミー（プトレマイオス）とは

トレミーは2世紀にギリシアで活躍した天文学者プトレマイオスの英語名です。プトレマイオスに関する解説はこちら▼
【知る・調べる】人物 – プトレマイオス

ピタゴラスの定理との関係

内接四辺形が 長方形 の場合に注目すると、下の図のようになります。

トレミーの定理を適用すると

a² + b² = c

となります。このことからピタゴラスの定理はトレミーの定理の拡張と言えます。

ピタゴラスの定理に関する解説はこちら▼
【知る・調べる】定理 – ピタゴラスの定理