完全数とは？ピタゴラス学派が大切にした完全数の性質や定理

完全数 ( Perfect number )とはどんな数？

完全数とは

完全数とは、自分自身を除く約数の和となる数のことです。たとえば6の約数は 1, 2, 3, 6 で、6以外の和は 1＋2＋3＝6 となるので、6は完全数です。28 も 1＋2＋4＋7＋14 ＝ 28 となりますから完全数です。現在までに分かっている完全数は非常に少なく、7桁以内の完全数は6, 28, 496, 8128の4つしかありません。

全て偶数？完全数の未解決問題

現在発見されている完全数はすべて「偶数」です。古代から偶数の完全数はたくさん見つかっていますが、奇数の完全数はまだ発見されていません。「奇数の完全数は存在するのか？」「偶数の完全数は無数に存在するのか？」などは未だ解明されていません。

完全数は古代から現代にいたるまで数々の数学者の研究対象となってきましたが、現在でも解明されていない問題がたくさんあるのです。

完全数はいくつある？ 8128の次は？

完全数は古代ギリシアのピタゴラス学派が大切にした数の一つです。ピタゴラスが知っていた完全数は 6 と 28 だけだったかもしれません。正確な時期はわかりませんが、ヘレニズム時代には6 と 28 のほかに、496 と 8128 という２つの完全数が見つかっています。5番目の完全数は、1456年になってやっと見つかりましたが、これは 33,550,336 という途方もなく大きな数でした。2021年現在発見されている完全数は51個しかありません。

6 とか 28 はともかく 496 とか 8128 のような数が完全数であることを、コンピュータもない昔に、どのようにして見つけたのでしょうか。当てずっぽうにしては数が大きすぎます。古代の人々がどのように数に親しんでいたか、歴史をさかのぼってようすを見てみましょう。

完全数とメルセンヌ素数

古代ギリシア数学と完全数

古代ギリシアの人々は数にいろいろな概念を導入し、数を分類しました。偶数や奇数、平方数や立方数、素数や完全数 などです。これらの数の間にはいろいろな不思議な関係が見つかりました。また、2, 3, 4, 5, … などの一つ一つの数には固有の意味があり、神秘的な魔力があると考えていました。これを“数神秘主義”といいます。この“数神秘主義”は中世のヨーロッパに大きな影響を与えました。しかし、こういったオカルトだけではなく、数の間に成り立つ関係は、近世の人の知的な好奇心を惹きつけ、数論という分野を生み出したのです。

完全数の定理

古代ギリシアの数学者ユークリッドは『原論』の中で次の定理を証明しています。

1 と自分自身以外に約数を持たない数を素数と言います。現在私たちはこのような定理を式を使って述べていますが、『原論』ではこれらをすべて式を使わない言葉で表しています。

メルセンヌ素数とは

２ⁿ－１の形の数は メルセンヌ数 とよばれ、これが素数のとき「メルセンヌ素数」とよばれています。メルセンヌは17世紀の修道士で数学者で、完全数の定理に魅せられ研究をした人物の一人です。

完全数 496 の証明 〔ユークリッドの証明〕

完全数 496 について詳しく見てみることにしましょう。496は次のように分解できます。

469 = 31 × 16

31は素数です。16の約数は1, 2, 4, 8, 16,です。したがって、496の約数を全部あげると

1, 2, 4, 8, 16, 31, 31×2, 31×4, 31×8, 31×16

となります。最後の 31×16を除いた総和を計算しましょう。

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 × ( 1 + 2 + 4 + 8)
= ( 2 × 16 – 1 ) + 31 × ( 2 × 8 – 1 )
= 31 + 31 × 15
= 31 × 16
= 496

となり、496を除いた約数の総和が469になる、すなわち496 が実際に完全数であることが分かりました。
※1行目から2行目は以下の式 を使いました。

2⁰ + 2¹ + 2² + … 2ⁿ = 2⁽ⁿ⁺¹⁾ – 1

この式については 指数関数のお話で説明しています。

上の証明では n＝4 の場合を示しましたが、この証明は準一般的な証明となっていて、一般の n に対しても成立します。

数の歴史

数の概念は時代によって異なる

これまで現在の数学を使って説明してきました。数学史の専門家はよく、「古代の数学を述べるのに、現代の概念や道具をもいいてはならない」と、注意しています。上ではこの“おきて”をだいぶ破っています。
第一に、今回の説明では数式を使いました。もちろん古代ではこのような数式はありません。

ここで『原論』ではどのように表現されているのかを紹介したいのですが、簡単に説明することはできません。それは、現代の私たちが持つ“数”の概念と、古代ギリシア人の“数”の概念がかけ離れて違うからです。『原論』の最初の方（第I巻から第IV巻まで）は、きれいに整理され美しい理論となっています。しかし、第V巻以降は、複雑でだんだん難解になってきます。上の『完全数の定理』は第IX巻の36番目の命題としてでてきますが、この命題にたどり着くまでに多くの命題を証明しなければならないのです。

数学は難しい！？

私たちが現在の”数”という概念に到達するまでには何千年もの月日を必要としたのです。ですから、「数学が難しい」と思っている方が多いのは当然なことのように思います。近世の初めでも、ヨーロッパの大学では「分数は、途中で投げ出したくなるほど難しい学問」だったのです。

今回のお話では、完全数の性質や、ユークリッドが証明した「完全数の定理」についてご紹介しました。しかし古代ギリシア人はどのようにしてこの定理を思いついたのでしょうか。古代ギリシア人は「計算が苦手だった」といわれます。計算が苦手なギリシア人が、どのようにしてこのような定理を発見し、8128 のような数が完全数であることを見つけたのでしょうか。このお話はまた別の機会にご紹介したいと思います。

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ユークリッドの原論とはどのようなものなのでしょうか。動画付きで詳しく解説します▼
Web連載『動画でわかる！ユークリッドの幾何』　 1-1.古代ギリシアの数学と現代の数学

私たち人類はいつ頃から「数」を扱うようになったのでしょうか。人類が「数の概念」を獲得するまでの進化と進歩の歴史を辿ります▼
Web連載『数の発明』1.数は人間の発明か

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