正三角形や正方形って、どこまでも角を増やしていけるよね。だったら、それで作る「正多面体」も、正六面体、正七面体……って、いくらでも種類があるんじゃないの？世界に5つしかないって本当なのかな？ページ目次
Q. 正多面体は5つしか存在しないの？
「正多角形」なら、正五角形、正六角形、正百角形……と、角の数を増やすことで無限に種類を作ることができます。
それなら、すべての面が同じ正多角形でできている「正多面体」も、同じようにいくらでも種類がありそうに思えませんか？実際のところ、この世界には一体何種類の正多面体があるのでしょうか。
A. 正多面体はたったの「5種類」しか存在しません
どんなに角を増やそうとしても、どんなに工夫して組み立てようとしても、すべての面が同じ形で、どの頂点にも同じ数の面が集まる「正多面体」は、この宇宙に5つだけなのです。
その5つとは、正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体です。正多面体とは次の条件を満たす立体のことです。すべての面が同じ正多角形で構成されていること。すべての頂点に同じ数の面が集まっていること。
これはこの世界の「空間のルール」によって決まっていることなのです。古代ギリシアの数学者ユークリッドは、その著書『原論』の最後を、この「正多面体は5つしかない」という証明で締めくくっています。
なぜ6つ目は作れないのか？その不思議な理由は、次に紹介する「角度のパズル」に隠されています。
たくさん作れそうなのに、「5つだけ」って決まっているなんて……。なんだか、選ばれた特別な形って感じがするね！正多面体が5つしかないことの証明
面白いことに、世の中に正多面体は5つしか存在しません。ユークリッドは『原論』の最後の巻で、「正多面体は5種類しか存在しない」ことを見事に証明しています。
正多面体が5つしか存在しないことを証明しましょう。まず、空間を作るには一つの頂点に3枚以上の正多角形が集まる必要があります。2枚以下の場合は、空間を囲むことができず、立体を作れないからです。一つの頂点に集まる面が三角形、四角形（正方形）、五角形…の場合を順番に見ていきましょう。
正三角形の場合：3枚の正三角形が一つの頂点に集まる場合は正四面体、4枚の場合は正八面体、5枚の場合は正二十面体です。正三角形の一つの内角は60°です。6枚の正三角形を1つの頂点に集めると、60×6=360°となり、平面になってしまいます。
正四角形（正方形）の場合：3枚の正方形が1つの頂点に集まる場合は正六面体（立方体）です。
正五角形の場合：3枚の正五角形が1つの頂点に集まる場合は正十二面体です。
正六角形の場合はどうでしょうか。正六角形の内角は120°。3枚集めると360°になり立体になりません。正六角形以上の正多角形の内角はこれより大きくなるため、立体を作れないことがわかります。
以上により、正多面体は5種類に限られると言えるのです。
なるほど！図形を増やしすぎると、ふくらむ余裕がなくなってペタンコになっちゃうんだね。5つしかないのは、空間のスキマを埋めるための「絶妙なバランス」の結果なんだ！古代ギリシアの哲学者プラトンの考え：宇宙の4大元素
古代ギリシアの哲学者プラトンはこの5つの正多面体に宇宙の4大元素と、空間そのものを割り当てました。
火は正4面体、空気は正8面体、土は正6面体、水は正20面体、そしてエーテル（宇宙に充満する神秘的な元素）、あるいは宇宙空間には正12面体をあてがいました。あくまで哲学的な象徴ですが、形と意味とを結びつける想像力こそが、当時のギリシア思想の粋とも言えます。
プラトンたちは、この5つの形こそが「宇宙を形作る究極のパーツ」だと信じておったんじゃ。「美しい形には、世界を解き明かす鍵がある」と考えた彼らの情熱は、今の科学にも通じるものがあるのう。たった5つしかない、完成された美しさ。次にサイコロを振る時は、その形に秘められた古代の知恵を思い出してみておくれ。もっと深く知りたい方へ
「形」の中に宇宙の真理を見出そうとした古代ギリシアの人々。彼らにとって数学は、単なる計算ではなく、世界を読み解くための「鍵」そのものでした。電子書籍『古代ギリシアの数1 ー 数学はこうして生まれた』では、今回ご紹介した正多面体の神秘や、古代ギリシアの数学をさらに詳しく解説しています。「数学の背後にある物語を知りたい」というあなたに、ぜひ読んでほしい一冊です。知的好奇心を刺激する冒険の続きを、本の中で楽しんでみませんか？
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