Note

出張マテマティカ『ラッセル博士の数のお話』

ライプニッツの2進数

2進数は神の数? ライプニッツを夢中にさせた2進数のお話

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現在のコンピュータの内部では、数は2進数で表現され、2進数をもとに設計されています。2進数の重要性に最初に注目したのは17世紀の大数学者ライプニッツです。ライプニッツは、現在の微積分学の創始者の一人とされている数学史における重要な人です。 ライプニッツが2進数に意味を見出したのは、数学上のことからではなく、神秘主義的なことからであったようです。彼はある伯爵への手紙の中で、「2進数は10進数と違って、宇宙の完全性を表し、10進数よりもはるかに多くの意味を含んでいる」と述べています。つまり「神は1を、無は0 を表し、2進数は無からの宇宙の創造」を意味していたのです。

私たちは子供の頃から数に囲まれて生活していますが、数といえば10進数、つまり10進法によって表記された数のことで、それ以外のものはほとんどお目にかかったことがないと思います。“数”という概念はとても抽象的な概念です。たとえば“言語”というものをよりよく理解するには、日本語以外の言語、たとえば英語や中国語を学ぶのがよいように、“数”という概念をよりよく理解するためには10進表現以外の表現を知るのがよいと思います。ライプニッツが「10進数よりもはるかに多くの意味を含んでいる」と考えた“2進数”とはどのような表現方法なのでしょうか。

厳密な意味では2進法というわけではありませんが、古代には2倍、2倍…と増えていく単位系がいろいろありました。外国では今でもこのような単位系が使われているところがあります。私たちにはあまりなじみがありませんので、想像上の貨幣系を考えて2進表現の参考にしてみましょう。1円、2円、4円、8円、16円、32円の6枚の硬貨があるとします。この6枚の硬貨を使えば、61円までの金額ならいくらでも支払うことができます。つまり6種類の硬貨を一枚ずつ用意すれば、組み合わせによってどんな金額にでもできるのです。ある金額を支払うのに使った硬貨を1、使わなかった硬貨を0で表し、並べたものが2進表現になります。

普段の生活であまり使うことのない2進数の概念を、硬貨やソロバンなどのツールを使って考えてみませんか?

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